Question

如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

（1）求证：DF＝PG；

（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等

（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出

【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，

∵四边形ABPM为矩形，

∴AB＝PM，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG＝90°，

∴∠GDH+∠DGH＝90°，

∵∠MGP+∠MPG＝90°，

∴∠GDH＝∠MPG，

在△ADF和△MPG中，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG；

（2）作PM⊥DG于M，如图，

∵PD＝PG，

∴MG＝MD，

∵四边形ABCD为矩形，

∴PCDM为矩形，

∴PC＝MD，

∴DG＝2PC＝2；

∵△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG，

而PD＝PG，

∴DF＝PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG＝90°，PE＝PG，

∴PE＝PD＝DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF＝PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，

∴PD＝＝，

∴DF＝PG＝PD＝，

∵四边形CDMP是矩形，

∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，

∵PD＝PG，PM⊥AD，

∴MG＝MD＝1，DG＝2，

∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，

∴△DHG∽△PMG，

∴，

∴GH＝＝，

∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，

∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝8．