Question

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S_{正方形ABCD}=．

其中正确的序号是　    　（把你认为正确的都填上）．

Answer

①②④

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。

∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。

∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。∴BE=DF。

∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF。∴①说法正确。

∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°。

∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°。∴②说法正确。

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥EF，且AC平分EF。

∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG。

∴BE+DF≠EF。∴③说法错误。

∵EF=2，∴CE=CF=。

设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，

∴。

∴。∴④说法正确。

综上所述，正确的序号是①②④。