Question

如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：

(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__       _ (直接填在横线上)；

(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；

(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．

Answer

(1)△APD∽△CDQ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)△APD∽△DPQ，理由见解析；(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由见解析.

【解析】

（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ，进而可得出△APD∽△CQD；

（2）由已知可得∠BAC＝∠BCA，再根据已知可推导得出∠APD＝∠CDQ，继而可得出△APD∽△CQD；

（3）△APD∽△DPQ，理由如下：由△APD∽△CDQ，可得，再根据点D为AC的中点，继而可得出，再根据∠PAD＝∠PDQ＝30°，即可证明△APD∽△DPQ；

（4）△DEF满足∠EDF＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可.

(1)∵∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，

∴∠APD=∠CDQ，

∴△APD∽△CDQ，

故答案为：△APD∽△CDQ；

(2)成立，如图，理由如下：

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BAC＝∠BCA＝30°，

∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°，

∵∠EDF＝30°，

∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，

∴∠APD＝∠CDQ，

∴△APD∽△CDQ；

(3)△APD∽△DPQ，理由如下：

如图，∵△APD∽△CDQ，

∴，

∵点D为AC的中点，

∴CD＝AD，

∴，即，

又∵∠PAD＝∠PDQ＝30°，

∴△APD∽△DPQ；

(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，

理由：∵∠ABC＝180°－2α，

∴∠A＝∠C＝α，

∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，

∴∠APD＝∠CDQ，

又∵∠A＝∠C，

∴△APD∽△CDQ.