Question

如图，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圆，点P是上的一个动点．

（1）求∠AOC的度数；

（2）若⊙O的半径为2，设点P到直线AC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．\

Answer

（1）120°；（2）y=﹣+x（0≤x≤3）

【解析】

（1）先根据圆内接四边形的性质求出∠P的度数，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OH⊥AC于H，根据锐角三角函数的定义得出AH及OH的长，进而得出AC的长，用x表示出△APC的面积，再根据y=S扇形AOC-S△AOC+S△APC即可得出结论．

【解析】
（1）∵∠ABC=120°，四边形ABCP是圆内接四边形，

∴∠P=180°﹣120°=60°，

∴∠AOC=2∠APC=120°；

（2）过点O作OH⊥AC于H，

∵∠AOC=120°，OC=OA=2，

∴∠OAC=30°，

∴AH=OA•cos30°=2×=，OH=OA=1，

∴AC=2AH=2，

∴S△APC=AC•x=x，

∴y=S扇形AOC﹣S△AOC+S△APC=﹣×2×1+x=﹣+x（0≤x≤3）．