Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．

（1）求AC的长度；

（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）

Answer

（1）6；（2）．

【解析】试题（1）由∠BOF=90°，∠B=30°，得出FO=， OB=6，AB=2OB=12，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，故AC=AB=6；

（2）先证Rt△ACF≌Rt△AOF，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．

试题解析：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∵AF=AF，AC=AO，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=，∴，即．