Question

在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝8，点 D 是 BC 边的中点，点 E 是边 AC上一点，过点 D 作 ED 的垂线交边 AC 于点 F，若 AC＝7CF，且 DE 恰好平分△ABC 的周长，则△ABC 的面积为______．

Answer

10

【解析】

取 AC 的中点 M，连接 DM，作 AH⊥BC 于 H．设 DM＝a，AE＝b．想办法证明 DM＝EM＝FM＝a．AE＝CF＝b，2a＝5b，解直角三角形求出 BH，CH 用 b 表示，根据边长的长构建方程求出 b 即可解决问题；

如图，取AC的中点M，连接DM，作AH⊥BC于H．

设 DM＝a，AE＝b．

∵BD＝DC，AM＝MC，

∴AB＝2DM＝2a，

∵AB+AE+BD＝EC+DC，

∴EC＝2a+b，AC＝2a+2b，

∴AM＝MC＝a+b，

∴EM＝a，

∴EM＝DM，

∴∠MED＝∠MDE，

∵∠MED+∠MFD＝90°，∠MDE+∠MDF＝90°，

∴∠MFD＝∠MDF，

∴MD＝MF＝a，

∴CF＝AE＝b，

∵AC＝7CF，

∴2a+2b＝7b，

∴2a＝5b，

∵AB＝5b，AC＝7b，

在 Rt△ABH 中，∵∠B＝60°，

∴BH＝ AB＝ b，AH＝ b，

在 Rt△ACH 中，CH＝＝b，

∴BC＝BH+HC＝8b，

∴8b＝8，

∴b＝1，

∴S△ABC＝ ×8×＝10，

故答案为： 10．