Question

已知抛物线 ：y＝ax² 过点（2，2）

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线 上，且边 AC 所在的直线解析式为y＝x+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求的值；

(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M，直线 y＝t 与⊙M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y= ;(2)16;(3)见解析.

【解析】

（1）把点（2，2）坐标代入 y＝ax2 即可求解；

（2）把 y＝x+b 和 y＝x2 得：x2﹣2x﹣2b＝0，设 A、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，可以求出点 D坐标、B坐标，即可求解；；

（3）设点 Q坐标为（a，a2），点 M的坐标为（，a2+1），圆的半径为 r，则 r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，点 M 到直线 y＝t 的距离为 d， 用 HK＝2＝2，当＝0时，HK为常数，t＝，HK＝．

（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2；

（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，

设A、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，

点D坐标为（，），即D（1，﹣b），B坐标为（1，），

AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8，

BD＝+b，

∴＝16；

(3)设点Q坐标为（a，a2），

点P的坐标为（0，2），由 P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），

设圆的半径为 r，由P（0，2）、M 两点坐标可得r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，

设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，

则 HK＝2＝2，

当＝0 时，HK为常数，t＝，

HK＝．