Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=13，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为_____．

Answer

【解析】

先根据直角三角形的性质和勾股定理，结合sinA=513，AC=12求出AB与BC的长，再对⊙P与△ABC相切的位置进行讨论；

①如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ，根据题意可得PQ∥CA′，从而得到PQCA'=PB'A'B'，代入已知条件求出PQ，即为圆的半径；

②如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，从而得到△A′BT∽△ABC.利用相似三角形对应边成比例得到A'TAC=A'BAB，求出A′T确定圆的直径，进而求出半径.

∵在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，

∴BC=5，AB=13.

①当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ，如图1所示：

设PQ=PA′=r.

∵PQ∥CA′，

∴PQ：CA'=PB'：A'B'，

∴r：12=（13−r）：13，

∴r= ．

②当⊙P与AB相切于点T时，如图2所示，易证A′、B′、T共线.

∵△A′BT∽△ABC，

∴A'T：AC=A'B：AB，

∴A'T：12=17：13，

∴A′T= ，

∴r=A′T=.

综上所述，⊙P的半径为.