Question

如图，点D是⊙O上一点，直线AE经过点D，直线AB经过圆心O，交⊙O于B,C两点，CE⊥AE，垂足为点E,交⊙O于点F，∠BCD=∠DCF

(1)求∠A+∠BOD的度数；

(2)若sin∠DCE=,⊙O的半径为5，求线段AB的长.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由OC=OD，得出∠OCD=∠ODC，而∠BCD=∠DCF，等量代换得到∠ODC=∠DCF，那么OD∥CE，由CE⊥AD，得出OD⊥AD，所以∠A+∠BOD=90°；

（2）连接BD．由圆周角定理得出∠BDC=90°，解直角△BCD，求出BD=6，CD==8．再解Rt△DCE，求出DE=，EC=．再由DO∥EC，得出，即，即可求出AB=．

（1）∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠BCD=∠DCF，

∴∠ODC=∠DCF，

∴OD∥CE，

∵CE⊥AD，

∴OD⊥AD，

∴∠A+∠BOD=90°；

（2）连接BD，如图．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠BCD=∠DCF，sin∠DCE=，

∴sin∠BCD=，

∵⊙O的半径为5，

∴BC=10，

∴BD=6，

∴CD==8．

在Rt△DCE中，sin∠DCE=，

∴DE=，

∴EC=．

∵DO∥EC，

∴，即，

∴AB=．