Question

如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP<CP），∠APB=90°.将ΔADP沿AP翻折得到，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN‖MP交DC于点N.

图1

图2

 

（1）求证：；

（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F.若tan∠PAD=，求的值.

Answer

（1）详见解析；（2）是菱形；（3）

【解析】

（1）要证明 ，就需证明= ，根据矩形ABCD可知AD=BC，

因此需要证明= ，即需要证明△ADP∽△PCB相似，

根据矩形可知，

在中，可得，

再由，可知，，从而得到，

即可以根据“两角相等的两个三角形相似”来证明和相似。

（2）观察图形可发现四边形是菱形，

根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，需要先证明四边形是平行四边形，再证明其中一组邻边相等，由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形，

由翻折形成的两个全等三角形和得出，

进而根据，，得出，

再由，得到内错角相等，等量代换为，

根据“等角对等边”得出邻边和相等，从而说明四边形是菱形。

（1）证明：∵为矩形，

∴，，

在中，，

∵，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，即，

∴。

（2）四边形是菱形。

证明：因为是矩形，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵（翻折），

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴，

于是，

∴，

又∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形。

（3）（3）设（），

∵在Rt△APDA中，tan∠PAD=

∴，所以，

∵，

∴，，

∵为矩形，

∴，，

∵（翻折），

∴，

∵，

∴，

于是，

∴，

∵，

所以，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴= ，即CF=AC

∵，（对顶角），

∴，

∴，

∴，即AE=AC

∴ = = ．