Question

如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为 1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为（    ）

A.     B. 3+    C. 3+    D. 4+

Answer

A

【解析】

过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值，点E在过点C垂直于AB的直线和圆C在点C下方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．

如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大即可），

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，0），B（0，1），

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为 y＝x+1 ①，

∵CD⊥AB，C（0，﹣1），

∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣1 ②，

联立①②得，D（﹣，），

∴CD＝＝，

∵⊙C的半径为1，

∴DE＝CD+CE＝+1，

∵A（﹣2，0），B（0，1），

∴AB＝，

∴S△ABE的最大值＝AB•DE＝（+1）×＝2+.

故选 A.