Question

问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？

问题显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．

建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：

如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．

【解析】
如图2，作AM⊥BC于点M，

∴△AOM为直角三角形．

又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OA•sinα

∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα．

问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．

如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）

新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=　   　．

模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）

Answer

问题解决:150;新建模型: absinα, 模型应用: a2

【解析】

问题解决，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD计算即可；

新建模型，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα；

模型应用，如图4中，在CB上取CE=CD，连接DE，AE，BD．只要证明BD=AC，∠APB=60°即可；

【解析】
问题解决，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sin60°+OC•sin60°）=•BD•AC=150．

新建模型，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=•BD•AE+•BD•CF=•BD•（AE+CF）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα=absinα，

故答案为absinα．

模型应用，如图4中，在CB上取CE=CD，连接DE，AE，BD．

∵AB+DC=BC，

∴AB=BE，

∵∠ABC=∠BCD=60°，

∴△ABE与△CDE均为等边三角形，

∴AE=BE，DE=CE，

∴∠AEB=∠CED=60°，

∴∠BED=∠AEC=120°，

在△BED与△AEC中，

，

∴△BED≌△AEC（SAS），

∴AC=BD，∠EAC=∠EBD，

∵∠AOP=∠BOE，

∴∠APO=∠AEB=60°，

∴S四边形ABCD=•a•a•sin60°=a2．