Question

如图，已知二次函数 y＝ax²+x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4），

与 x 轴交于点 B、C，点 C 坐标为（8，0），连接 AB、AC．

（1）请直接写出二次函数 y＝ax²+x+c 的表达式；

（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出此时点 N 的坐标；

（4）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合），过点 N 作 NM∥AC，交AB 于点 M，当△AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0），（8﹣4，0），（3，0）或（8+4，0）；（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求得AB，AC，BC的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC为直接三角形；

（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，分别求得点N的坐标即可；

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），然后根据S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可.

解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），

，

解得，

∴抛物线表达式：y＝﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令 y＝0，则﹣x2+x+4＝0， 解得 x1＝8，x2＝﹣2，

∴点 B 的坐标为（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，

在Rt△AOC中，AC2＝AO2+CO2＝42+82＝80，

又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，

∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，

∴△ABC 是直角三角形；

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC＝＝4，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（﹣8，0）；

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4 ，0）；

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0）；

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时， 点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵MN∥AC，

∴，

∴，

∵AO＝4，BC＝10，BN＝n+2，

∴MD＝（n+2），

∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN，

＝BN•OA﹣BN•MD

＝（n+2）×4﹣×（n+2）2

＝﹣（n﹣3）2+5，

∴当△AMN 面积最大时，N点坐标为（3，0）．