Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．

（1）求点P与点Q之间的距离； 

（2）求∠APB的度数．

Answer

（1）6；（2）150°

【解析】

试题先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再利用旋转的性质得∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，于是可判断△AP′P为等边三角形，得到PP′=AP=5，∠APP′=60°，接着根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度数．

试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，

∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，

∴△AP′P为等边三角形，

∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，

在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，

∴PP′2+BP2=BP′2，

∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，

∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．

答：点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．