Question

如图，抛物线y=x²+2x+k+1与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C（0，-3）．

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）求抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

Answer

（1）y=（x+1）2-4，直线x=-1（2）（-1，-2）（3）当点M的坐标为（-，-）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为

【解析】

（1）由抛物线y=x2+2x+k+1与y轴交于点C（0，-3），即可将点C的坐标代入函数解析式，解方程即可求得k的值，由抛物线y=x2+2x+k+1即可求得抛物线的对称轴为：x=-1；

（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；

（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），即可得S△AMB=×4×|（x+1）2-4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

（1）∵抛物线y=x2+2x+k+1与y轴交于点C（0，-3），

∴-3=1+k，

∴k=-4，

∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，

∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

（2）

如图1，连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，

当y=0时，（x+1）2-4=0，

解得：x=-3或x=1，

∵A在B的左侧，

∴A（-3，0），B（1，0），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，则

，

解得，

∴直线AC的解析式为：y=-x-3，

当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，

∴点P的坐标为：（-1，-2）；

（3）如图2，点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，

∴-3＜x＜0；

①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），

∵AB=1-（-3）=4，

∴S△AMB=×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，

∵点M在第三象限，

∴S△AMB=8-2（x+1）2，

∴当x=-1时，即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），

如图3，过点M作MD⊥AB于D，则

S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=×3×1+×（3+x）×[4-（x+1）2]+×（-x）×[3+4-（x+1）2]

=-（x2+3x-4）

=-（x+）2+，

∴当x=-时，y=（-+1）2-4=-，

即当点M的坐标为（-，-）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．