Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

（3）在（2）的条件下，若AB=AC=2，求正方形ADCE周长．

Answer

（1）见解析；（2）∠BAC=90°且AB=AC时，四边形ADCE是一个正方形，（3）8．

【解析】

试题（1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD=∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；

（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；

（3）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．

（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，

∴∠CAD=∠BAC．

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠CAE=∠CAM．

∵∠BAC与∠CAM是邻补角，

∴∠BAC+∠CAM=180°，

∴∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°．

∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形；

（2）∠BAC=90°且AB=AC时，四边形ADCE是一个正方形，

证明：∵∠BAC=90°且AB=AC，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠BAC=45，∠ADC=90°，

∴∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD．

∵四边形ADCE为矩形，

∴四边形ADCE为正方形；

（3）【解析】
由勾股定理，得

=AB，AD=CD，

即AD=2，

AD=2，

正方形ADCE周长4AD=4×2=8．