Question

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．

（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）

（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形，理由见解析

【解析】

（1）（2）根据平行四边形的判定性质求证．
（3）把结论当做已知条件，由结论推出已知．

证明：（1）∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G

∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线

∴DG∥BC ,EF∥BC,DG=BC,EF=BC

∴DG∥EF且DG=EF

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）【解析】
成立，

理由是：如图所示，

∵由（1）知，DG∥BC,EF∥BC,DG=BC,EF=BC

∴DG∥EF且DG=EF

∴四边形DEFG是平行四边形；

（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形．

由三角形中位线性质得DE=EF，

所以平行四边形DEFG是菱形．