Question

已知在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线上的一个动点,点A的坐标为(0,-3).

(1)如图①所示,直线l过点Q(0,-1)且平行于x轴,过P点作PB⊥l,垂足为B,连接PA，猜想PA与PB的大小关系,并证明你的猜想.

(2)请利用(1)的结论解决下列问题：

①如图②所示,设点C的坐标为(2,-5),连接PC,问PA+PC是否存在最小值?如果存在,请并求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.

②若过动点P和点Q(0,-1)的直线交抛物线于另一点D,且PA=4AD,求直线PQ的表达式(图③为备用图).

Answer

(1) PA=PB，证明见解析；(2)①存在. 此时P点坐标为(2,-3)，②直线PQ的表达式为或.

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，-m2-2），则B（m，-1），然后根据两点间的距离公式计算出PA和PB，从而可判断它们相等；

（2）①过点Q作QB∥x轴，过P点作PB⊥QB于B点，如图2，由（1）得PB=PA，根据两点之间线段最短，当点P、B、C共线时，此时P点的横坐标为2，然后计算对应的函数值即可得到P点坐标；

②过点Q（0，-1）作直线l平行于x轴，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如图3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再证明△QDE∽△QPB，利用相似比得到=，设P（m，-m2-2），则B（m，-1），PB=m2+1，易得E点坐标为（m，-1），D点坐标为（m，-（m）2-2），则ED=m2+1，然后根据DE和PB的数量关系列方程m2+1=4（m2+1），解方程求出m，从而得到P点坐标，最后利用待定系数法求直线PQ的解析式．

(1) PA=PB，

证明:设P(m,),则B(m,-1)，

∵PA，

PB， ∴PA=PB.

(2)①存在.

过点Q作QB∥x轴,过P点作PB⊥QB于B点,如图①所示，由(1)得PB=PA,则PA+PC=PB+PC，

当点P,B,C共线时,PB+PC最小，此时PC⊥QB,P点的横坐标为2,

当x=2时,y=，即此时P点坐标为(2,-3)。

②过点Q(0,-1)作直线l平行于x轴,作PB⊥l于B,DE⊥1于E,如图②所示,由(1)得PB=PA,DE=DA。

∵PA=4AD，∴ PB= 4DE。DE∥PB，∴△QDE∽△QPB,∴。

设P，则B(m,-1),PB=，

∴E点坐标为，D点坐标为，

∴ED=， ∴,解得m1=4,m2=-4，

∴P点坐标为(4,-6)或(-4,-6)。

当P点坐标为(4,-6)时,直线PQ的表达式为

当P点坐标为(-4,-6)时,直线PQ的表达式为，

即直线PQ的表达式为或.