Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（3）CG=2．

【解析】

试题(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=30°，从而得出DE=BE；(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；(3)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．

试题解析：(1)、证明：∵△CDE是等边三角形， ∴∠CED=60°， ∴∠EDB=60°﹣∠B=30°，

∴∠EDB=∠B， ∴DE=EB；

(2)、【解析】
ED=EB， 理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°，OC=OA， ∴△ACO为等边三角形， ∴CA=CO，

∵△CDE是等边三角形， ∴∠ACD=∠OCE，∴△ACD≌△OCE， ∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°， ∴△COE≌△BOE， ∴EC=EB， ∴ED=EB；

(3)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB， 由（2）得△ACD≌△OCE，

∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB， ∵EH⊥AB，

∴DH=BH=3，∵GE∥AB， ∴∠G=180°﹣∠A=120°， ∴△CEG≌△DCO， ∴CG=OD，

设CG=a，则AG=5a，OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB， ∴4a=a+3+3， 解得，a=2，

即CG=2．