Question

如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．

（1）求证：是等边三角形；

（2）当时，试判断的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？

Answer

(1)见解析;(2) 直角三角形;(3) 125°或110°或140°

【解析】

试题

(1) 根据题意可知，△BOC通过旋转变换得到△ADC. 根据旋转变换的性质可知，△BOC≌△ADC. 由此易知，△COD是等腰三角形. 根据上述旋转变换的旋转角可知，∠OCD=60°. 不难证明等腰三角形COD为等边三角形.

(2) 结合第(1)小题的结论可知，∠ODC=60°. 根据旋转变换的性质可知，∠BOC=∠ADC=α=150°. 不难发现，∠ADO=90°. 这可以说明△AOD是直角三角形. 进一步观察图形可知，共用顶点O的四个角组成一个周角，可以利用这一关系求得∠AOD的度数，进而利用三角形内角和求得∠OAD的度数. △AOD的形状可以用这三个内角的度数进行描述.

(3) 由于△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形，所以应该对这三个内角两两相等的三种情况分别进行讨论. 在讨论之前，应该先求得这三个内角与α的关系，这样可以将两个内角相等的条件转化为关于α的方程，进而求得符合条件的α的值. 根据第(2)小题的思路可知，利用“共用顶点O的四个角组成一个周角”这一关系，可以得到∠AOD与α的关系式；利用旋转变换的性质和等边三角形的性质，可以得到∠ADO与α的关系式；在△AOD中利用三角形内角和可以得到∠OAD与α的关系式. 在求得这些关系式后，依照上述的解题思路进行分情况讨论即可.

试题解析：

(1) 证明：

∵△BOC绕点C旋转得到△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴OC=DC，

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，

∴∠OCD=60°，

∴△COD是等边三角形.

(2) △AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形. 理由如下.

∵△COD是等边三角形，

∴∠COD=∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，

又∵α=150°，

∴∠BOC=∠ADC=α=150°.

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，

∴△AOD是直角三角形.

∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°

又∵∠AOB=110°，∠BOC=α=150°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-150°-60°=40°，

∴在Rt△AOD中，∠OAD=90°-∠AOD=90°-40°=50°.

∴△AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形.

(3) ∵△COD是等边三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°.

∵∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α.

∵∠BOC=∠ADC=α，

∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°.

∴在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.

根据题意，△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形，

故应该对下面三种情况分别进行讨论.

①若∠ADO=∠AOD，即α-60°=190°-α，∴α=125°.

②若∠ADO=∠OAD，即α-60°=50°，∴α=110°.

③若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-α，∴α=140°.

综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.