Question

如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．

（1）求海岛B到航线AC的距离；

（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？

Answer

（1）海岛B到航线AC的距离为50海里；（2）两船相距12海里．

【解析】

（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，可得BD＝x，在Rt△BDA中，根据勾股定理可得方程1402＝（60+x）2+（x）2，解方程求得x的值，即可求得BD的长；（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，由题意可知PQ∥AC，由平行线分线段成比例定理可得，代入数值求得t值，即可求得AP、PB的长；再由△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求得PQ的长．

（1）过点B作BD⊥AE于D，

由题意可知AC=60，AB=140，

在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，

设CD＝x，则BD＝x，

∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°

∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2

x2+30x﹣4000＝0，

∴x＝50或﹣80（舍弃），

∴BD＝50．

∴海岛B到航线AC的距离为50海里；

（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，

若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，

∴＝，即：＝，得t＝8，

∴AP＝112，PB=140-112=28.

由∵△BPQ∽△BAC，

∴＝，即：＝，

得PQ＝12．

∴两船相距12海里.