Question

已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（　　）

A.     B.

C.     D.

Answer

C

【解析】

A．由三角形的内切圆的性质，即可求得⊙O的半径；

B．易证得△ADO∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O的半径；

C．易证得四边形ODCE是正方形，然后由平行线分线段成比例定理，求得⊙O的半径；

D．易证得四边形ODCE是正方形，利用切线长定理，由勾股定理即可求得⊙O的半径．

设⊙O的半径为r． A．

∵⊙O是△ABC内切圆，∴S△ABC（a+b+c）•rab，∴r；

B．如图，连接OD，则OD＝OC＝r，OA＝b﹣r．

∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠C＝90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB＝OD：BC，即（b﹣r）：c＝r：a，解得：r；

C．连接OE，OD．

∵AC与BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形．

∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC＝OD＝r，OE∥AC，∴OE：AC＝BE：BC，∴r：b＝（a﹣r）：a，∴r；

D．设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E，连接OD、OE．

∵AC、BE是⊙O的切线，∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°，∴四边形ODCE是矩形．

∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形，即OE＝OD＝CD＝r，则AD＝AF＝b﹣r．

连接OB，OF，由勾股定理得：BF2＝OB2﹣OF2，BE2＝OB2﹣OE2．

∵OB＝OB，OF＝OE，∴BF＝BE，则BA+AF＝BC+CE，c+b﹣r＝a+r，即r．

故选C．