Question

已知两条线段AC和BC，连接AB，分别以AB、BC为底边向上画等腰△ABD和等腰△BCE，∠ADB＝∠BEC＝α．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△DBE≌△ABC；

（2）如图2，当α＝90°时，且BC＝5，AC＝2．

①求DE的长；

②如图3，将线段CA绕点C旋转，点D也随之运动，请求出C，D两点之间距离的取值范围．

Answer

(1)证明见解析；(2)①；②.

【解析】

（1）只要证明△DBA，△EBC都是等边三角形即可解决问题；

（2）①只要证明△DBE∽△ABC，推出，即可解决问题；

②在△DEC中，根据三边关系即可解决问题．

（1）如图1．

∵DB＝DA，EB＝EC，∠BDA＝∠BEC＝60°，∴△ABD，△EBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC．

（2）①∵△ABD，△BEC都是等腰直角三角形，∴，∠DBA＝∠EBC＝45°，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴．

∵AC＝2，∴DE．

②如图3中，连接CD．

由（2）可知DE．在Rt△BCE中，ECBC．

∵EC﹣DE≤DC≤EC+DE，∴DE．