Question

如图，将一对直角三角形卡片的斜边AC重合摆放，直角顶点B，D在AC的两侧，连接BD，交AC于点O，取AC，BD的中点E，F，连接EF．若AB＝12，BC＝5，且AD＝CD，则EF的长为_____．

Answer

．

【解析】

先求出BE的值，作DM⊥AB，DN⊥BC延长线，先证明△ADM≌△CDN（AAS），得出AM=CN，DM=DN，再根据正方形的性质得BM=BN，设AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，求出x=，BN=，根据BD为正方形的对角线可得出BD= ， BF=BD= ， EF== .

∵∠ABC=∠ADC，

∴A,B,C,D四点共圆，

∴AC为直径，

∵E为AC的中点，

∴E为此圆圆心，

∵F为弦BD中点，

∴EF⊥BD，

连接BE，∴BE=AC= = =；

作DM⊥AB，DN⊥BC延长线，∠BAD=∠BCN,

在△ADM和△CDN中，

，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴AM=CN，DM=DN，

∵∠DMB=∠DNC=∠ABC=90°,

∴四边形BNDM为矩形，

又∵DM=DN,

∴矩形BNDM为正方形，

∴BM=BN，

设AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，

∴12-x=5+x，x=,BN=，

∵BD为正方形BNDM的对角线，

∴BD=BN= ，BF=BD= ，

∴EF=== .

故答案为 .