Question

如图，分别以△ABC 的边 AB，AC 向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，线段 BE 与 CD 相交于点 O，连接 OA．

(1)求证：BE＝DC；

(2)求∠BOD 的度数；

(3)求证：OA 平分∠DOE．

(4)猜想线段 OA、OB、OD 的数量关系，并证明．

Answer

(1)见解析;(2) 60°;(3)见解析;(4)见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可；（2）根据全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根据三角形的内角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案；

（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可；（4）在 OD 上截取一点 G，使得 OG＝OA．由（2）（3）知∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，故可证△AOG 是等边三角形，根据等边三角形性质得到AG＝AO，∠GAO＝60°，进而得到∠DAG＝∠BAO，根据SAS证△DAG≌△BAO，进而可得OD＝OG+DG＝OA+OB.

(1)证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，

∴ AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝60°，

∴∠BAC+∠CAE＝∠BAC+∠BAD， 即∠BAE＝∠DAC．

在△ABE 和△ADC 中

∵，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE＝DC．

(2)【解析】
由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴∠ADC＝∠ABE

∴∠ADC+∠BDO＝∠ABE+∠BDO＝∠BDA＝60°

∴在△BOD 中，∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE

＝180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）

＝180°﹣60°﹣60°

＝60°．

(3)证明：过点 A 分别作 AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点 M，N．

∵由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴S△ABE＝S△ADC

∴•BE•AM＝•DC•AN

∴AM＝AN

∴点 A 在∠DOE 的平分线上， 即 OA 平分∠DOE．

(4)【解析】
结论：OD＝OA+OB．

理由：在 OD 上截取一点 G，使得 OG＝OA．

由（2）（3）可知：∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，

∵OG＝OA，

∴△AOG 是等边三角形，

∴AG＝AO，∠GAO＝60°，

∵∠DAB＝∠GAO＝60°，

∴∠DAG＝∠BAO，

∵AD＝AB，AG＝AO，

∴△DAG≌△BAO（SAS），

∴DG＝BO，

∴OD＝OG+DG＝OA+OB．