Question

如图，抛物线y＝x²+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S_△APC：S_△ACD＝5：4的点P的坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3．（2）满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）先根据直线y=x-3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．

（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．

（1）直线y=x-3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，-3）．

则，

解得，

∴此抛物线的解析式y=x2-2x-3．

（2）抛物线的顶点D（1，-4），与x轴的另一个交点C（-1，0）．

设P（a，a2-2a-3），则（×4×|a2-2a-3|）：（×4×4）=5：4．

化简得|a2-2a-3|=5．

当a2-2a-3=5，得a=4或a=-2．

∴P（4，5）或P（-2，5），

当a2-2a-3＜0时，即a2-2a+2=0，此方程无解．

综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（-2，5）．