Question

如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E是射线DA上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求线段DF的长度的最小值；

（3）如图2，连接BD、EF．BD交EC、EF于点P、Q．当△EPQ是直角三角形时，求DE的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)DF的最小值是12；(3)DE=6或6.

【解析】

（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF即可证明△BCE≌△DCF；

（2）当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；

②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE．

（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE．

∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC．

在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS）；

（2）如图1．

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小．在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6，∴DE′=6+6，DF=BE′=12．

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．

①当∠EQP=90°时，如图2①．

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴△ECF≌△BCD，∴∠CBD=∠CEF．

∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°．

∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6；

②当∠EPQ=90°时，如图2②．

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6．