Question

如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．

（1）x为何值时，PQ∥BC；

（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

（3）当＝时，求的值．

Answer

（1）；（2）cm；（3）．

【解析】

试题本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解方程、两个三角形的面积比等于两个底的比（这两底上的高相等）等知识，利用相似三角形的性质是解决本题的关键．

（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．

（2）由△APQ∽△CQB得出＝，进一步代入求x的值；

（3）当时得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出答案即可

试题解析：【解析】
（1）由题意知AP=4x，CQ=3x,

若PQ∥BC,则△APQ∽△ABC，

=，

∵AB=BC=20，AC=30，

∴AQ=30-3x，

∴＝，

∴x＝，

∴当x＝时，PQ∥BC．

（2）∵△APQ∽△CQB，则＝，

∴＝，

∴9x²-10x=0，

∴x1=0（舍去）．x2＝．

∴当AP的长为cm，△APQ∽△CQB；

（3）∵，

∴＝，

又∵AC=30，

∴CQ=10，

即3x÷10x＝，

此时，AP＝4x＝，

∴＝＝．

∴＝＝．