Question

如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点 C的对应点 C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边 C′D′于点E．

（1）求证：BC＝BC′；

（2）若 AB＝2，BC＝1，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AE=．

【解析】

（1）连结 AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′， 根据旋转的性质即可得到结论；

（2）根据矩形的性质得到 AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，根据旋转的性质得到 BC′＝AD′，AD＝AD′，证得 BC′＝AD′，根据全等三角形的性质得到 BE＝D′E，设 AE＝x，则 D′E＝2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解析】
：（1）连结 AC、AC′，

∵四边形 ABCD为矩形，

∴∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′，

∵将矩形 ABCD 绕点A顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，

∴AC＝AC′，

∴BC＝BC′；

（2）∵四边形 ABCD 为矩形，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，

∵BC＝BC′，

∴BC′＝AD′，

∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，

∴AD＝AD′，

∴BC′＝AD′，

在△AD′E 与△C′BE中

∴△AD′E≌△C′BE，

∴BE＝D′E，

设 AE＝x，则 D′E＝2﹣x，

在 Rt△AD′E 中，∠D′＝90°，

由勾定理，得 x2﹣（2﹣x）2＝1，

解得 x＝，

∴AE＝ ．