Question

在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．

（1）如图1，当α=β=90°时，EB与EF的数量关系为　   　．

（2）如图2，当α=60°，β=120°时．

①依题意补全图形；

②探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；

（3）在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：            　．

Answer

(1)EB=EF；(2)①见解析；②结论依然成立EB=EF，证明见解析；(3)α+β=180°或°.

【解析】

（1）过E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形，可以证明ANEM是正方形，再证明△EMF≌△ENB，即可得出结论；

（2）①依题意补全图形如图2所示，②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC＝∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM＝EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；

证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；

（3）直接得出结论．

（1）EB＝EF．理由如下：

过E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴EM=EN，∴ANEM是正方形，∴∠NEM=90°．

∵∠FEB=90°，∴∠MEF=∠NEB．

∵∠EMF=∠ENB=90°，∴△EMF≌△ENB，∴EB=EF．

故答案为：EB＝EF；

（2）①补全图形如图2所示：

②结论依然成立EB＝EF．理由如下：

证法1：如图3．

过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAD＝∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB，∴∠FME＝∠N＝90°，EM＝EN．

∵∠BAD＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°．

∵∠ABE+∠EBN＝180°，∴∠F＝∠EBN．

在△EFM与△EBN中，∵，∴△EFM≌△EBN，∴EF＝EB；

证法2：如图4，连接ED．

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAE．

又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE，∴ED＝EB，∠ADE＝∠ABE．

又∵∠DAB＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝180°．

又∵∠ADE+∠FDE＝180°，∴∠F＝∠FDE，∴EF＝ED，∴EF＝EB．

（3）α+β=180°或°．