Question

阅读材料：我们都知道,

于是，-2x²+40x+5

=-2(x²-20x)+5

=-2(x²-20x+100)+200+5

=-2(x-10)²+205

又因为，所以，

所以，-2x²+40x+5有最大值205.

如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米.

（1）请用含x的代数式表示BC的长（直接写答案）；

（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S，试用含x的代数式表示S，并计算当x=5时S的值；

（3）试求出山羊活动范围面积S的最大值.

Answer

（1）BC=32-2x；（2）S=-2x2+32x-1，当x=5时，S=109米2；（3）山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米．

【解析】

（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，根据铁栅栏总长为34米即可用x表示出BC的长；

（2）根据S=S长方形ABCD-S正方形CEFG列出S与x的函数关系式，进而求出当x=5时S的值；

（3）配方后根据完全平方式恒小于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．

（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，

∵AB+DC+BC+EF+FG=34，

∴2x+BC+2=34，

∴BC=32-2x；

（2）依题意得S=S长方形ABCD-S正方形CEFG=x（32-2x）-1=-2x2+32x-1，

当x=5时，S=-2×52+32×5-1=109（米2）；

（3）S=-2x2+32x-1=-2（x2-16x+64）+127=-2（x-8）2+127，

又因为-2＜0，

所以，（x-8）2≥0，-2（x-8）2≤0，-2（x-8）2+127≤127，

所以，山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米．