Question

定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且它们的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．

（1）如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”．∠BAC＞90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED于N．求证：DE=2AM；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析

【解析】

（1）证明△ABM≌△DAN，由全等三角形的性质得到AM=ND，再由等腰三角形三线合一即可得到结论；

（2）连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD．证明点P满足条件即可．

（1）∵△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，∴AB=AC=AD=AE，∠BAC+∠DAE=180°，∴∠B=∠C．

又∵AM⊥BC，AN⊥ED，∴∠BMA=∠DNA=90°，∠EAN=∠DAN，DE=2DN，∴∠BAC+2∠NAD=180°．

又∵∠BAC+2∠B=180°，∴∠B=∠NAD．

在△ABM和△DAN中，∵∠BMA=∠DNA=90°，∠B=∠NAD，AB=AD，∴△ABM≌△DAN（AAS），∴AM=DN．

∵AE=AD，AN⊥ED，∴ED=2ND，∴DE=2AM．

（2）存在．

如图，连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD．

∵AD=AB，CD=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴∠ABC=∠ADC=90°．

P是AC的中点，∴PB=PA=PC=AC，PD=PA=PC=AC，∴PA=PB=PC=PD．

又∵DC=BC，PC=PD，∴△PDC≌△PBC，∴∠DPC=∠BPC．

∵∠APD+∠DPC=180°，∠APD+∠BPC=180°，∴△APD与△BPC互为“顶补等腰三角形”．