Question

如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）求证：EF为半圆O的切线；

（2）若DA=DF=6，求弧BD的长．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）﹣6π．

【解析】

（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；

（2）利用弧长公式计算即可．

（1）连接OD，

∵D为的中点，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，

∴OD⊥EF，

∴EF为半圆O的切线；

（2）∵DA=DF，

∴∠F=∠BAD，

由（1）得：∠CAD=∠BAD，

∴∠F=∠BAD=∠CAD，

∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD，

∵DF=6，

∴(2OD)2-OD2=(6)2，

解得：OD=6，

∴的长=.