Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；

（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+x﹣2；D（，）；（2）P（2，1）；△PAC的面积最大为4；（3）存在；G（0，）.

【解析】

（1）利用一次函数是性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式即可；将二次函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案；

（2）利用分割法求得△PAC的面积为二次函数的形式，利用二次函数最值的求法进行解答；

（3）利用轴对称-最短路径方法证得点G，结合一次函数图象上点的坐标特征求得点G的坐标．

（1）把x=0代入y=x﹣2中得：y=﹣2，

把y=0代入y=x﹣2中得：x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）分别代入y=ax2+bx+c，得，

解得．

则该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2，

∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴顶点D（，）；

（2）在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4．理由如下：

如图1，过点P作PQ∥y轴交AC于Q，连接PC，PA．

设P（x，﹣x2+x﹣2），则Q（x，x﹣2）．

∴PQ=﹣x2+x﹣2﹣（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2．

又∵S△PAC=S△PQC+S△PQA

=x•PQ+（4﹣x）•PQ

=2PQ，

∴S△PAC=﹣（x﹣2）2+4．

∴当x=2时，S△PAC最大值为4，此时﹣x2+x﹣2=1，

∴在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4；

（3）存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．理由如下：

如图1，

作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交y轴于点G，则B′（﹣1，0），

设直线B′D的解析式为y=kx+b，

则，解得：，

∴直线B′D的解析式为y=x+，

把x=0代入，得y=，

∴存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．