Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长．

Answer

【解析】

根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAD=∠BCD=90°；然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等，求出∠CBD=∠CAD=30°；根据圆内接四边形对角互补，求出∠BDC=60°；再根据等弦所对的圆周角相等，求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°；解直角三角形求出BD；再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

【解析】
∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠CAD=120°﹣90°=30°，

∴∠CBD=∠CAD=30°，

又∵∠BAC=120°，

∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，

∵AB=AC，

∴∠ADB=∠ADC，

∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，

在Rt△ABD中，AB=AD=×6=2 ，BD=2AB=4，

在Rt△BCD中，CD= BD=2．