Question

（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

要直接求∠A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　   　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°

∴∠BAP＝　   　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　   　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD²+CD²＝PC²

∴∠PDC＝　   　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

Answer

（1）PD，∠CAD，∠APB，90；（2）135°．

【解析】

（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．只要证明△ABP≌△ACD（SAS），推出BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC，再利用勾股定理的逆定理即可解决问题；

（2）把△PAC绕A点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，想办法证明△BPD是等腰三角形即可解决问题；

（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

∴∠BAP＝∠CAD，

∴△ABP≌△ACD（SAS），

∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝90°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）【解析】
∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴把△PAC绕A点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，

∴BD＝PC＝3，AD＝AP＝2，∠PAD＝90°，

∴△PAD为等腰直角三角形，

∴DP＝PA＝2，∠DPA＝45°，

在△BPD中，PB＝2，PD＝2，DB＝3，

∵12+（2）2＝32，

∴AP2+PD2＝BD2，

∴△BPD为直角三角形，

∴∠BPD＝90°，

∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．