Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；

（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．

【解析】
（1）连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点E，

∴CO⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）设⊙O半径为r，

在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，

∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，

∴OC=3，OE=6，

∴cos∠COE=，

∴∠COE=60°，

∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣．