Question

如图，已知等边△ABC，AB=4，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接FD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求EF的长．

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】

（1）连接OD，根据切线的判定方法即可求出答案；

（2）由于OD∥AC，点O是AB的中点，从而可知OD为△ABC的中位线，在Rt△CDE中，∠C＝60°，CE＝CD＝1，所以AE＝AC−CE＝4−1＝3，在Rt△AEF中，所以EF＝AE•sinA＝3×sin60°＝.

（1）连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠ODB=60°

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AC

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）∵OD∥AC，点O是AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴BD=CD=2

在Rt△CDE中，

∠C=60°，

∴∠CDE=30°，

∴CE=CD=1

∴AE=AC﹣CE=4﹣1=3

在Rt△AEF中，

∠A=60°，

∴EF=AE•sinA=3×sin60°=