Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E为AC的中点，连接DE并延长交BA的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；   

（2）若∠F=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题(1) 连接OD、AD，利用直径所对圆周角是直角，可求得△ADC是直角三角形，利用半径构成的等腰三角形找等角，可得∠ODE=90°.(2)求出直角三角形和扇形的面积求和.

试题解析：

【解析】
（1）如图，连接OD、AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴△ADC是直角三角形，

∵E为AC的中点，

∴AE=EC=DE，

∴∠ADE=∠DAE，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAD+∠DAE=90°，

∴∠ODA+∠ADE=90°，

即∠ODE=90°，OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠F=30° OD⊥DE，

∴∠AOD=60°

又∵r=2.

∴图中阴影部分面积=AD=.