Question

如图1，Rt△ACB中，AC=3，BC=4，有一动圆⊙O始终与Rt△ACB的斜边AB相切于动点P，且⊙O始终经过直角顶点C．

（1）如图2，当⊙O 运动至与直角边AC相切时，求此时⊙O 的半径r的长；

（2）试求⊙O 的半径r的最小值．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由勾股定理先求出AB的值，根据切线长定理得出AP=AC，求出BP的长，再利用△ACB∽△OPB对应边成比例得出圆的半径.

（2）先作出⊙O最大半径时的图，结合三角函数计算r的值.

（1）连接OP，

在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB===5,

∵AC,AP都是圆的切线，

∴AP=AC=3,

∴PB=2，

∵∠ACB=∠OPB=90°，∠B=∠B,

∴△ACB∽△OPB，

∴ ,

∴ ，

∴r= .

（2）如图，当点P与点B重合时，⊙O的半径最大，此时点O在BC的垂直平分线上，

过点O作OD⊥BC于点D，则BD=BC，

∵AB是切线，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABC+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，

∴∠ABC=∠BOD,

∴sin∠BOD= sin∠ABC===,

∴OB=，

即半径的最大值为.