Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　）

①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．

∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∴∠DCB+B=90°，

∵∠A+∠B=90，

∴∠DCB=∠A，

∴①正确；

∵CE是RtABC斜边AB上的中线，

∴EA=EC=EB，

∴∠ACE=∠A，

∴∠DCB=∠A，

∴∠DCB=∠ACE，

∴②正确；

∵EC=EB，

∴∠B=∠BCE，

∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，

∴∠B= ∠ACD，

∴∠ACD= ∠BCE，

∴③正确；

∵BC与BE不一定相等，

∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，

∴④不正确；

∴正确的个数为3个，

故答案为：C.