Question

如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD＝CE，直线CD与AE相交于点F．

（1）求证：DC＝AE；

（2）求证：AD²＝DC•DF．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）利用“SAS”证明△DBC≌△ECA即可；

（2）由△DBC≌△ECA可知∠E＝∠D，根据外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可证△DCA∽△DAF，利用相似比得出结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA

∴∠DBC=∠ECA=180°﹣60°=120°

在△DBC与△ECA中

∴△DBC≌△ECA（SAS）

∴DC＝AE；

（2）∵△DBC≌△ECA，

∴∠DCB＝∠EAC

又∠ACB＝∠BAC

∴∠DCA＝∠DAF

又∠D＝∠D

∴△DCA∽△DAF

∴

∴AD2＝DC•DF．