Question

点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．

(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；

(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；② BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值

Answer

(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣和；(2)正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．

【解析】

（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答．

(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，

∴AB＝5．

解方程2x+1＝x﹣5得x＝﹣4．

所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．

所以．

设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，

①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，

PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，

解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；

②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，

所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；

③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，

所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，

所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．

(2)设P点所表示的数为n，

∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．

∵PA的中点为M，

∴PM＝PA＝．

N为PB的三等分点且靠近于P点，

∴BN＝PB＝×（n﹣2）．

∴PM﹣BN＝﹣××（n﹣2），

＝（不变）．

②PM+BN＝+××（n﹣2）＝n﹣（随P点的变化而变化）．

∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．