Question

如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF²＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ②③④

Answer

B

【解析】

根据等边对等角的性质得到∠DCF=∠DFC，继而得到DF=DB，从而得∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，继而得到△BCF和△CEF相似，根据相似三角形的对应边成比例，即可判断①；根据互余关系可得∠G=∠ACG，再根据等角对等边得到AG=AC，然后求出AG=BC，利用“AAS”证明△BCE和△AGF全等，根据全等三角形的性质得到AG=BC，即可判断②；根据角的互余关系求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，继而得到∠EAF≠∠EFA，从而得AE≠EF，即可判断③；证明△CEF和△BCE相似，从而得EC2=EF•EB，再根据全等三角形的对应边相等得到AF=CE，即可判断④，由此即可得到答案.

∵DF=CD，

∴∠DCF=∠DFC，

∵AC=BC，点D是BC的中点，

∴DF=DB=DC，

∴∠DBF=∠DFB，

又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，

∴∠BFC=×180°=90°，

∴CF⊥BE，

∴Rt△BCF∽Rt△CEF，

∴，

∴CF2=EF•BF，故①正确；

∵AG⊥AD，

∴∠G+∠AFG=90°，

又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，

∴∠G=∠ACG，

∴AG=AC，

∵AC=BC，

∴AG=BC，

又∵∠CBE=∠ACG，

∴∠CBE=∠G，

在△BCE和△AGF中，

，

∴△BCE≌△AGF（AAS），

∴AG=BC，

∵点D是BC的中点，

∴BC=2DC，

∴AG=2DC，故②正确；

根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，

∵tan∠ADC=2，

∴∠ADC≠60°，

∵∠DCF=∠DFC，

∴∠FDC≠∠DFC，

∴∠EAF≠∠EFA，

∴AE≠EF，故③错误；

∵∠ACB=90°，CF⊥BE，

∴△CEF∽△BCE，

∴，

∴EC2=EF•EB，

∵△BCE≌△AGF（已证），

∴AF=EC，

∴AF•EC=EF•EB，故④正确；

所以，正确的结论有①②④，

故选B.