Question

如图，已知AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线.

(1)若∠AOC∶∠COG=4∶7，求∠DOF的大小；

(2)若∠AOC∶∠DOH=8∶29，求∠COH的大小.

Answer

(1)∠DOF=110° (2)∠COH=107.5°

【解析】本题考查对顶角的定义、性质垂直定义、角平分线的定义和根据图形写出角的和差关系式

【解析】
（1）∵AB、CD、EF相交于点O，∴∠AOC=∠BOD

∵EF⊥AB ∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOE＝∠BOE＝90°

∵OG为∠COF的平分线，∴∠COG=∠GOF

∵∠AOC∶∠COG=4∶7

∴∠AOC∶∠GOF=4∶7，∠AOC∶∠COF=4∶14 ，∠AOC∶∠AOF=4∶18

∴∠AOC＝∠BOD＝20°

∠DOF＝∠BOD+∠BOF＝20°90°＝110°

（2）由（1）知：∠AOC=∠BOD ，∠COG=∠GOF，∠AOF＝∠BOF＝90°

∵OH为∠DOG的平分线.∴∠DOH＝∠GOH

∵∠AOC∶∠DOH=8∶29，∴∠BOD∶∠BOH=8∶21；

设∠BOD＝8k，∠COG=∠GOF＝x，则∠GOH＝29k，∠BOH＝21k ，由∠AOF＝∠BOF＝90°得

8k+2x＝29k+21k－x 解得x＝14k ,

代入29k+21k－14k＝90°解得k＝2.5°

∠COH＝∠COH+∠COH+∠COH＝14k+29k＝43k＝43×2.5°＝107.5°