Question

如图，已知△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,BE平分∠ABC,交AD于E,F为△ABC外一点,且∠ACF=∠ACB,BE=CF,

（1）求证：∠BAF=3∠BAD

（2）若DE=5，AE=13，求线段AB的长.

Answer

（1）详见解析；（2）19.5.

【解析】

（1）由角平分线得∠ABE=∠ACF,证明△ABE≌△ACF（SAS）得∠BAE=∠CAF,根据三线合一性质得∠BAE=∠DAC=∠CAF,即可解题,

（2）根据角平分线性质得DE=EH=5,在Rt△AEH中，勾股定理得AH=12, 设BD=BH=a在Rt△ABD中,勾股定理求BH=7.5,即可解题.

（1）AB=AC

∠ABC=∠ACB

BE平分∠ABC

∠ABE=∠ABC

又∠ACF=∠ACB

∠ABE=∠ACF

又BE=CF

△ABE≌△ACF

∴∠BAE=∠CAF

AB=AC，D为BC中点

∠BAD=∠CAD

∴∠BAF=3∠BAD

（2）过E作EH⊥AB于H

AB=AC，D为BC中点

AD⊥BC

BE平分∠ABC,

∴DE=EH=5

∴Rt△AEH中，AH=

∠BHE=∠BDE=90°，DE=EH,BE=BE

△BDE≌△BEH

BD=BH

设BD=BH=a

则Rt△ABD中,

解得a=7.5

AB=AH+BH=7.5+12=19.5