Question

已知x、y是实数且满足x²+xy+y²﹣2=0，设M=x²﹣xy+y²，则M的取值范围是_____．

Answer

≤M≤6

【解析】

把原式的xy变为2xy-xy，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为-2xy+3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2-2xy的范围，最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范围即为M的范围．

由得：

即 所以

由得：

即 所以

∴

∴不等式两边同时乘以−2得：

,即

两边同时加上2得：即

∵

∴

∴

则M的取值范围是≤M≤6.

故答案为：≤M≤6.