Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；

（2）求证：

（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

Answer

（1）∠CBD与∠CEB相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠CDF=．

【解析】

试题

（1）由AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD，结合∠A=∠CEB即可得到∠CBD=∠CEB；

（2）由∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，可得∠EBC=∠BDC，从而可得△EBC∽△BDC，再由相似三角形的性质即可得到结论；

（3）设AB=2x，结合BC=AB，AB是直径，可得BC=3x，OB=OD=x，再结合∠ABC=90°，

可得OC=x，CD=（-1）x；由AO=DO，可得∠CDF=∠A=∠DBF，从而可得△DCF∽△BCD，由此可得：==，这样即可得到tan∠CDF=tan∠DBF==.

试题解析：

（1）∠CBD与∠CEB相等，理由如下：

∵BC切⊙O于点B，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BAD=∠CEB，

∴∠CEB=∠CBD，

（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，

∴∠EBC=∠BDC，

∴△EBC∽△BDC，

∴；

（3）设AB=2x，∵BC=AB，AB是直径，

∴BC=3x，OB=OD=x，

∵∠ABC=90°，

∴OC=x，

∴CD=（-1）x，

∵AO=DO，

∴∠CDF=∠A=∠DBF，

∴△DCF∽△BCD，

∴==，

∵tan∠DBF==，

∴tan∠CDF=．