Question

如图，二次函数y＝x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；

（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣4x+6；（2）D点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小

【解析】

试题（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；

（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；

（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．

试题解析：

（1）把A（2，0），B（8，6）代入，得

解得：

∴二次函数的解析式为；

（2）由，得

二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．

令y=0，得，

解得：x1=2，x2=6，

∴D点的坐标为（6，0）；

（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小．

连接CA，如图，

∵点C在二次函数的对称轴x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根据“两点之间，线段最短”，可得

当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，

此时，由于BD是定值，因此的周长最小．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

解得：

∴直线AB的解析式为y=x﹣2．

当x=4时，y=4﹣2=2，

∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，的周长最小．