Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．

（1）求的值；

（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；

（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）S△OAB＝（0＜t＜2）；（3）B点坐标为(1,0)(3,0)(6,0)时，以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似．

【解析】

（1）根据点A的坐标求出∠AOD=45°，然后判断出△OCD是等腰直角三角形，然后得到正方形的边长等于t，即可得出结论；
（2）先利用△ACF和△AOB相似，根据相似三角形对应边成比例用t表示出OB，
（3）根据相似三角形对应边成比例分情况求出BE，然后根据OB的长度列出方程求解即可．

【解析】
（1）∵点A（2，2），

∴∠AOD＝45°，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∵OD＝t，

∴正方形CDEF的边长为t，

∴OE＝OD+DE＝t+t＝2t，

∴

（2）∵OD＝t，

∴

∴

∵四边形CDEF是正方形，

∴CF∥OB，

∴△ACF∽△AOB，

∴

∴

∴

∴

（3）由（1）知，

由（2）知，EF=t，

要使△BEF与△OFE相似，

∵∠FEO＝∠FEB＝90°，

∴只要或

即：BE=2t或，

①当BE=2t时，BO=4t，

∴

∴t1=0(舍去)或，

∴B(6,0).

②当时，

(ⅰ)当B在E的左侧时，

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(1,0).

(ⅱ)当B在E的右侧时,

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(3,0).

综上,B(1,0)(3,0)(6,0).

综上所述，B点坐标为(1,0)(3,0)(6,0)时，以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似．